PELUANG, RUANG SAMPEL & TITIK SAMPEL

Teori tentang Peluang, Ruang Sampel & Titik Sampel

Kali ini Rumus Matematika akan membahas tentang Pengertian Ruang Sampel dan Titik Sampel, dimana:

 

Definisi Ruang Sampel :

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.

Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.

 

Definisi Titik Sampel:

Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.

 

Contoh:

1. Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.

 

Jawab:

a. Dengan Diagram Pohon

 

 

Kejadian yang mungkin:

 

AA : Muncul sisi angka pada kedua koin

AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2

 

b. Dengan Tabel

 

 

 

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}

Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G).

Dari contoh soal dan jawaban diatas, kini kita akan membahas tentang pengertian dari Peluang Suatu Kejadian, yaitu:

 

Definisi Kejadian:

Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

 

Definisi Peluang:

Peluang Suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Misalnya A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan

 

Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.

 

Contoh :

Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :

• Munculnya mata dadu ganjil
• Munculnya mata dadu genap
• Munculnya mata dadu prima

Jika pada percobaan tersebut diinginkan  kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah

Atau:

Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada  suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :

Batas-Batas Nilai Peluang
Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :

Contoh:

1. Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang :
    a. munculnya mata dadu bilangan asli
    b. munculnya mata dadu 7

    Jawab :
    a.  Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian.
    b.  Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatu kemustahilan

  

Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan (fh) dari suatu kejadian adalah banyaknya kemunculan kejadian yang dimaksud dalam beberapa kali percobaan. 

Atau dirumuskan seperti:

Contoh:

1. Sebuah dadu bermata enam dilempar sebanyak 120 kali. Berapa harapan akan muncul mata dadu 6?

Dosen Pengajar Mata Kuliah Statistik Ekonomi 2

ttd

    Ali Tutupoho, S.E., M.Si

TEORI PELUANG

Dasar Teori Peluang

• Ruang Sampel
• Kejadian dan Operasinya
• Menghitung Titik Sampel:
   – Permutasi
   – Kombinasi
 

Ruang sampel
• Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S
• Contoh: Percobaan pelemparan mata uang
 

Kejadian
• Dari setiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang sampel yang mempunyai ciri tertentu. Sekelompok titik sampel itu membentuk himpunan bagian dari S.
• Contoh: Percobaan pelemparan 3 koin perasi dengan kejadian.

• Definisi 1:
Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang unsurnya termasuk A dan B.
• Gambar diagram Venn
 

Definisi 2
Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A B = 0
• Contoh: Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas
 

Definisi 3
• Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A dan B atau keduanya.
 

Definisi 4
• Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A. Komplemen A dinyatakan dengan lambang A’.
 

Menghitung Titik Sampel
• Teorema 1:
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara.
• Contoh: Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.
 

Teorema 2:
• Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara.
• Contoh: Berapa macam hidangan dapat disajikan jika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop,
nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam soto, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4
macam soto.
 

Teorema 3:
• Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan
yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.
• Contoh: Permutasi empat huruf a,b,c, dan d
adalah 4!=24
 

Menentukan Ruang Sampel Suatu Percobaan
Ada tiga cara yang biasa digunakan untuk menentukan ruang sampel suatu percobaan, yaitu:

a. Cara Mendaftar
Seperti yang telah kita pelajari di atas, dalam percobaan melempar dadu bermata enam, kita tidak dapat memastikan mata dadu mana yang muncul. Tetapi himpunan mata dadu yang mungkin muncul dan anggota-anggota dari ruang sampel bisa kita ketahui. Ruang sampel dari dadu bermata enam adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6) dan titik sampelnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi ruang sampel diperoleh dengan cara mendaftar
semua hasil yang mungkin. Titik sampel adalah semua anggota dari ruang sampel.

b. Diagram Pohon
Misal dalam melakukan percobaan melempar sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali, dengan sisi angka (A) dan sisi gambar (G).
Dari diagram pohon berikut kita dapat menuliskan dengan mudah ruang sampelnya, yaitu:

S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}
 

c. Tabel
Misal kita mempunyai uang logam dengan 2 kali pelemparan. Maka dengan tabel diperoleh:

Titik sampel: (AA), (AG), (GA), (GG)
Ruang sampel (S): {(AA), (AG), (GA), (GG)}
 

Dengan menggunakan diagram pohon dan tabel kita bisa mencari titik sampel dan ruang sampel dari dua buah alat atau lebih.
 

Menghitung Peluang Kejadian
1. Peluang pada Ruang Sampel
Pada percobaan melempar satu kali dadu bermata enam, dan kemungkinan mata dadu yang keluar ada enam buah, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6; sebut saja ada 6 buah kejadian yang mungkin muncul. Jika A merupakan peristiwa muncul mata dadu 5, di mana mata dadu 5 merupakan salah satu kejadian dari enam kejadian yang mungkin muncul dari setiap pelemparan dadu. Jika dadu ituseimbang atau kondisi sama, maka peluang muncul 5 yaitu 1 / 6. Jika dituliskan dalam rumus, peluang terjadinya peristiwa
A yang dilambangkan P(A) adalah:

 

2. Peluang dengan Frekuensi Relatif
Jika kita melemparkan sebuah mata uang logam sebanyak 6 kali, ternyata muncul sisi gambar (G) sebanyak 3 kali, dan sisi angka (A) sebanyak 2 kali maka frekuensi relatif dari munculnya sisi gambar adalah = 0,5 dan frekuensi relatif dari munculnya sisi angka adalah = 0,33.
 

Jadi, jika ada percobaan sebanyak n kali, ternyata muncul kejadian A sebanyak n1, kali dan B sebanyak n2 kali sehingga (n1 + n2 = n), maka frekuensi relatif dari munculnya A adalah n1/n.

Dosen Pengajar Mata Kuliah Statistik Ekonomi 2

ttd

    Ali Tutupoho, S.E., M.Si