BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Peluang atau
kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk
mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku
atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam
matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam
matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.
B.
Rumusan
Masalah
Dengan konsep probabilitas, maka akan dapat diusahakan untuk
menarik kesimpulan tentang karakteristik dari populasi dengan menggunakan data
sampel. Proses penarikan kesimpulan populasi atas dasar data sampel sering
disebut dengan “induktif”.
Dengan
menggunakan konsep probalilitas, maka dapat diusahakan untuk menjawab
peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan. Dengan mengetahui pengertian
probabilitas, dasar-dasar probabilias, teori probabilitas, aturan probabilitas,
kulkus probabilitas, probabilitas lebih dari satu peristiwa.
C.
Tujuan
Untuk memahami
pengertian probabilitas dan bagaimana pemanfaatan fungsi probabilitas sehingga
dapat digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau
statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Pengertian
Probabilitas
Probabilitas atau peluang merupakan “derajat kepastian”
untuk terjadinya suatu peristiwa yang diukur dengan angka pecahan antara nol
sampai dengan satu, dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak atau random.
Dengan konsep probabilitas tersebut, maka akan dapat diusahakan untuk menarik kesimpulan
tentang karakteristik dari populasi dengan menggunakan data sampel. Proses
penarikan kesimpulan populasi atas dasar data sampel sering disebut dengan
“induktif”.
Dengan menggunakan konsep probalilitas, maka dapat
diusahakan untuk menjawab peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan.
Misalnya terkait dengan teori permintaan, jika harga suatu barang dinaikkan
sebesar Rp. 500,- maka permintaan terhadap barang tersebut dapat turun sebesar
20 unit, atau 25 unit, atau 30 unit dan lainnya. Jika sebuah dadu dilempar satu
kali, maka muka yang tampak dapat mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 atau
mata 6. Untuk menjawab peristiwa tersebut hanya dapat dilakukan dengan derajat
kepastian, yaitu mulai sebesar nol sampai dengan satu (0 <= probabilitas <=
1).
B.
Dasar Probabilitas
Banyak
kejadian sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama
kejadian-kejadian yang akan datang atau sesuatu yang belum terjadi, misalnya :
a. Apakah
nanti malam akan datang hujan ?
b. Apakah
tahun depan harga minyak mentah akan naik ?
c. Apakah
operasi jantung yang akan dilakukan tim dokter besok pagi akan berhasil ?
Meskipun
kejadian-kejadian tersebut tidak pasti tetapi dengan melihat fakta-fakta yang
ada sebelumnya maka suatu peristiwa atau kejadian dapat diprediksi dengan suatu
derajat atau tingkat kepastian tertentu.
Sebagai
contoh yang paling sederhana misalnya cuaca langit mendung dan semakin gelap
maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan segera turun, sebaliknya jika
cuaca cerah maka tidak akan diprediksikan bahwa akan terjadi hujan. Meskipun
dalam kenyataannya bisa saja terjadi suatu kejadian yang sebaliknya, namun
tentunya dengan derajat kepastian
C. Teori Probabilitas
Konklusi dari segala
penalaran induktif memiliki sifat probabilitas, sifat peluang yang menyebabkan pikiran
dapat percaya akan kebenarannya (rational credibility/rational belief) banyak
hal yang kebenarannya tidak diketahui oleh manusia secara pasti, akan tetapi
berdasarkan pengalaman manusia tahu bahwa probabilitas itu biasanya benar atau
setidak-tidaknya ada kemungkinan benar. Tanpa percaya kepada probabilitas hidup
manusia akan mengalami kesulitan yang tidak dapat diatasi.
Dalam kehidupan
sehari-hari manusia sering bertindak atas nama probailitas ini berarti waktu
melakukan tindakan itu, manusia mempunyai harapan, bahwa apa yang di percayai
secara rasional itu akan benar-benar terjadi atau akan benar-benar ada. Jadi
peristiwa atau keadaan itu mengandung kredibilitas rasional. Manusia selalu
memilih tindakan yang satu atas tindakan yanglain berdasarkan tinggi rendahnya
probabilitas, dalam praktek keilmuan orang berusaha mengukur tinggi rendahnya
probabilitas itu dengan menggunakan angka-angka. Probabilitas yang berbentuk
angka-angka itu dapat disebut probailitas numerik.
Terdapat dua teori
tentang probabilitas yaitu; teori klasik dan teori frekuensi :
a. Teori
Klasik
Teori klasik disusun
dalam hubungan dengan permainan judi dan juga dikenal dengan nama teori
perjudian
Misal :
sebuah percobaan
(trial) dapat menghasilkan n peristiwa dan syarat :
1. Sejumlah
pristiwa yang dapat terjadi harus diketahui secara apriori tanpa observasi
terlebih dahulu.
2. Tidak
mungkin dua pristiwa terjadi bersama-sama dan ini harus diketahui secara
apriori.
3. Tidak
ada alasan untuk mengharap bahwa diantara pristiwa-pristiwa itu salah satu akan
lebih mudah terjadi daripada yang lain. ( diantara semua pristiwa itu ada
persamaan kemungkinan akan terjadi) diantara semua pristiwa adaekuiposibilitas.
4. Nilai
probabilitas dari masingh-masing pristiwa 1/n
Dalam
definisi klasik, nilai probabilitas adalah hasil bagi atau kosien dari jumlah
sukses dibagi jumlah peristiwa yang memiliki ekuiposibilitas. Kalu kita
melempar dadu, maka prcobaan itu memenuhi syarat (1) dan (2) diatas. Dan kalu
cara melmparkanya sedemikian rupa sehingga memnuhi syarat ekuiposibilitas, maka
masing-masing muka itu mempunyai nilai probailitas 1/6 untuk menghadap keatas.
Kalu dadu itu semua mukanya bermata satu, maka pristiwa lemoparan dengan hasil
mata satu memiliki probabilitas 6/6 atau 1. Kalu mukanya tidak ada yang bermata
satu, maka pristiwa itu akan mempunyai probabilitas 0/6 atau 0. Angka satu dan
0 itu adalah probabilita maksimum dan minimum. Probabilitas yang ditetapkan
secara demikian itu juga disebut matematik. Menurut teori klasik, secara
apriori dapat ditentukan bahwa nilai probabilitas untuk memperoleh sukses
berupa gambar burung garuda dalam lemparan mata uang lima puluh rupian ialah.
b.
Teori Frekuensi
Teori
ini memandang probailitas sebagai frekuensi relatif, yaitu banyaknya atau
seringnya hasil sukses dalam sejumlah percobaan, jadi
Untuk menghitung
frekuensi relatif, kita harus mengdakan percobaan sejumlah kali dan hasilnya,
misal sebagai berikut ( i = gambar rumah atau sukse)
-
- 1 1 - - - 1 1 - 1 1 1
Deretan diatas adalah
sequence of events (deretan percobaan) hasil dari 14 kali lemparan diantara
yang sukses 8. Berdasarkan 14 kali percobaan itu terdapat
0/1
0/2 1/3 2/4
2/5 2/6 2/7
3/8 4/9 4/10
5/11 6/12 7/13
8/14
Dari teori ini
menurunkan sebuat prinsip atau aksioma, yang disebut aksioma limit yang
mengatakan bahwa semakin banyak diadakan percobaan dan semakin panjang deretan
frekuensinya, maka ngka frekuensinya itu adakan makin mendekati angka akhir.
Kalu percobaan itu diteruskan tak terbatas, angka akhir atau nilai lmit inilah
probabilitas sebenarnya.
D.
Aturan Probabilitas
Suatu peristiwa E dapat terjadi
sebanyak “h” kali diantara sejumlah “n” peristiwa yang mungkin, dengan
ketentuan h <= n. Dengan demikian nilai probabilitas dari peristiwa paling
kecil adalah 0 (nol) dan paling besar adalah 1 (satu) atau diformulasikan
menjadi: 0 <= P (E) <= 1 ; dimana P (E) merupakan probabilitas suatu
peristiwa.
Jika P(E) = 0, maka peristiwa E
“pasti tidak terjadi”.
Jika P(E) = 1, maka peristiwa E
“pasti terjadi”.
Jika P(E) mendekati 0 (nol) maka
peristiwa E kemungkinan terjadinya “kecil”.
Jika P(E) mendekati 1 (satu) maka
peristiwa E kemungkinan terjadinya “besar”.
Apabila kemingkinan terjadinya
peristiwa E diberi notasi P(E), maka kemungkinan terjadinya “bukan E” diberi
notasi P(nE), sehingga P(nE) = 1 – P(E). Peritiwa E dan nE merupakan peristiwa
yang “komplementer” satu sama lain.
Contoh :
Jika sebuah dadu dilempar satu kali
maka peristiwa untuk tampak mata 5 adalah sebesar P(E) = 1/6 = 0,167. Sedangkan
untuk tampak selain mata 5 adalah sebesar 5/6 = 0,833 atau 1 – 0,167 = 0,833.
E.
Probabilitas Lebih Dari Satu Peristiwa
Suatu suatu percobaan “tunggal”
dimungkinkan akan terjadi beberapa peristiwa, maka peristiwa yang satu dengan
peristiwa yang lain dipisahkan dengan tanda “atau” (U). Misalnya dalam
percobaan satu kali pelemparan sebuah dadu, maka probabilitas keluar mata 4
atau mata 5 adalah ditulis P (4 U 5). Peristiwa yang terjadi dalam percobaan
tunggal tersebut dapat bersifat Mutually Exclusive atau bersifat Non-Mutually
Exclusive.
Dalam percobaan yang banyak, maka
peristiwa yang muncul akan banyak. Karena percobaan banyak dan peristiwanya
juga banyak, maka antara peristiwa yang satu dengan yang lain diberi tanda
“dan” (∩). Peristiwa yang banyak dalam percobaan yang banyak dapat bersifat
Independent atau bersifat Dependent.
Peristiwa Mutually Exclusive
Peristiwa Mutually Exclusive terjadi
jika peristiwa yang satu tidak menyebabkan terjadinya peristiwa yang lainnya
atau peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain tidak dapat terjadi secara
bersama-sama. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa Mutually Exclusive, maka
kemungkinan terjadinya peristiwa X dan Y adalah : P (X U Y) = P (X) + P (Y).
Contoh :
Sebuah dadu dilempar satu kali, maka
probabilitas tampak mata 4 atau mata 5 adalah : P (4 U 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6.
Dalam sebuah karung terdapat 4 bola
merah, 10 bola biru dan 6 bola kuning. Jika dalam satu kali pengambilan secara
acak, berapa probabilitas terambil bola merah atau bola biru.
Jawab :
Misalnya : X = terambil bola merah
dan Y = terambil bola biru.
P (X) = 4/20 = 0,20
P (Y) = 10/20 = 0,50
P (X U Y) = 0,20 + 0,50 = 0,70
Nilai tersebut berarti jika diambil
secara berulang-ulang (misalnya 100 kali), maka probabilitas untuk terambil
bola merah atau bola biru adalah paling tidak sebanyak 70 kali.
Terdapat 100 lembar undian, yang
terdiri 1 lembar hadiah pertama, 4 lembar hadiah kedua dan 10 lembar hadiah
ketiga. Apabila diambil satu lembar undian tersebut berapa probabilitas
memenangkan hadiah pertama atau ketiga.
Jawab :
X : memdapatkan hadiah pertama
Y : mendapatkan hadiah ketiga, maka
P (X) = 1/100 = 0,001
P (Y) = 10/100 = 0,10
P (X U Y) = 0,001 + 0,10 = 0,101
untuk memenangkan hadiah pertama atau ketiga.[1]
F.
Kulkus
Probabilitas
Uraian
matematik diperlukan untuk memberikan gambaran tentang kalkulus probabilitas,
dengan menjelaskan beberapa hukumnya yang pokok. Yaitu hukum konjungsi dan
hukum disjungsi.
1.
Hukum konjungsi
Apabila P sebagai lamabang frekuensi
relatif dan p sebagai lambang pristiwa (event) berupa mata uang lima puluh
rupiah dengan sukses gambar burung garuda, maka P(p) berarti probabilitas
pelemparan mata uang lima puluh rupiah dengan sukses gambar burung garuda.
Kalau q lambang sukses yang sama dalam pelemparan mata uang kedua, maka
P(q)berarti probabilitas pelemparan mata uang kedua dengan sukses gambar burung
garuda. Selanjutnya P(p^q) berarti probabilitas dua mata uang lima puluh rupiah
dengan sukse berupa dua gambar burung garuda. Beaya nilai : P(p^q)
Diketahui bahwa probabilitas dalam
pelemparan mata uang lima puluh rupiah dengan sukses gambar burung garuda = ½,
maka probabilitas sukses yang sama dengan menggunakan dua mata uang lima puluh
rupiah ialah ½ x ½ = ¼ nilai probabilitasini dapat dicocokan demikian : bila kita
melemparkan dua mata uang lima puluh rupiah bersama-sama, hasil peristiwa itu
yang mungkin dicapai ialah sebagai berikut :
(A
= gambar Burung Garuda : B = Angka : A
– B
B – A
B –
B
A –
A
Hasil lemparan berupa dua burung garuda
adalah salah satu empat hasil yang mungkin diperoleh, jadi nilai
probabilitasnya ¼.
Contoh lain dua orang pencuri lari masuk
kerumah teman mereka, yang penghuninya tiga orang, Polisi tidak mengenal
ciri-ciri si pencuri. Beberapa nilai probabilitasnya bahwa polisi
berturut-turut akan menangkap orang yang dicarinya ? dalam penangkapan yang
pertama probabilitas ketepatanya ialah : 1/5. Dalam penangkapan berikutnya
nilai probabilitas ketepatannya ¼, jadi nilai probabilitasnya bahwa polisi berturut-turut
akan menangkap orang yang tepat ialah 1/5 x ¼ = 1/20.
2. Hukum
Disjungsi
Disjungsi dibagi menjadi dua yaitu
disjungsi ekslusif dan disjungsi inklusif. Disjungsi eksklusif tidak hanya
berlaku untuk disjungsi yang anggota-anggotanya komplementer. Bahkan berlaku
juga apabila disjungsi memiliki lebih dari dua anggota. Contoh seorang polisi
melihat seorang pemuda memukul orang dijalan samapi mati, ketika pemuda itu
hendak di tangkap, ia lari masuk halaman kampus dan terus masuk kesebuah
ruangan kuliah. Ada 30 orang Mahasiswa disitu, tidak ada yang mengaku orang
yang dikejar oleh polisi itu. Polisi merasa melihat bahwa pemuda yang
dikejarnya itu berbaju merah, maka ditangkapnyalah seorang mahasiswa yang
berbaju merah, akan tetapi tubuhnya kecil, sedangkan ia merasa pemuda yang
dicarinya itu berbadan tegap, maka ditangkapnyalah seorang mahasiswa lain yang
berbadan tegap akan tetapi berbaju kuning, akan tetapi yang ini rambutnya
pendek, sedangkan polisi merasa pemuda yang dicarinya berambut panjang, maka ditangkapnya
lagi seorang yang berambut panjang, tetapi berbaju hijau. Berapa nilai
probabilitas nya di antara ketiga pemuda yang ditangkap terhadap pemuda yang
dicari ? kalau peristiwa penangkapan pemuda berbaju merah, kuning dan hijau
kita lambangkan dengan huruf m, k dan h, maka nilai probabilitasnya yang dicari
itu adalah sebagai berikut :
P(m
v k v h) = 1/30 + 1/29 + 1/28 = 812/24360 + 840/24360 + 870/24360 = 2522/24360.
Contoh
yang komplek :
Berapa nilai probabilitasnya kalau kita
melempar dua mata uang lima puluh rupiah dan ingin mendapatkan hasil dua gambar
burung garuda atau angka lima puluh ? probabilitas ini mengenai disjungsi
eksklusif yang masing-masing anggotanya ialah sebuah konjungsi yaitu :
probabilitas untuk mendapatkan dua gambar burung garuda dan probabilitas untuk
mendapatkan dua angka lima puluh maka perhitunganya menjadi berikut : P[P(r^r)
v P(a v a)] = P[( ½ x ½ ) v ( ½ x ½ )] = ¼ + ¼ = ½
Disjungsi
inklusif. Dengan melemparkan uang lima puluh rupiah dua kali, berapa nilai probabilitasnya
untuk mendapatkan sukses gambar burung garuda pada lemparan pertama atau kedua
? disjungsi ini adalah disjungsi inkusif karena suksesnya dapat dicapai pada
lemparan pertama atau kedua atau pada lemparan pertama dan kedua.
BAB
III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Probabilitas atau peluang merupakan “derajat kepastian”
untuk terjadinya suatu peristiwa. Dengan konsep probabilitas, maka akan dapat
diusahakan untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik dari populasi dengan
menggunakan data sampel. Proses penarikan kesimpulan populasi atas dasar data
sampel sering disebut dengan “induktif”.
Dengan menggunakan konsep probalilitas, maka dapat
diusahakan untuk menjawab peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan
sehingga dapat sedikit diketahui pertiwa yang akan datang walau belum tentu
pasti terjadi.
DAFTAR
PUSTAKA
- http://ssantoso.blogspot.com/2009/03/materi-ii-teori-probabilitas-1.html
- Dapat dilihat di mantiq-probabilitas
Tidak ada komentar:
Posting Komentar