TEORI PROBABILITAS (PELUANG) (3)

1. DEFINISI

 

A. PENDEKATAN KLASIK

Probabilitas/peluang merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu kejadian berdasarkan frekuensinya.

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:

P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5

B. PENDEKATAN SUBYEKTIF

Nilai probabilitas/peluang adalah tepat/cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual (misalnya berdasarkan pengalaman).

C. PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF

Nilai probabilitas/peluang ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi/percobaan (pengumpulan data).

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab: P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

Probabilitas disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1

2. OPERASI HIMPUNAN PELUANG

A. Irisan (Ç), jika satu atau beberapa peluang pada himpunan A terjadi secara bersama-sama dengan himpunan B.

B. Gabungan (È), jika semua peluang pada himpunan A dan semua peluang pada himpunan B terjadi bersama-sama.

C. Komplemen (X’) suatu kejadian A relative terhadap S adalah semua himpunan S bukan anggota A.

3. JENIS KEJADIAN

A. Berdasarkan peluang terjadinya.

a. Kejadian Saling Meniadakan (Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh: Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus

Keadaan : Dingin vs Panas

Cuaca : Hujan vs Tidak Hujan

b. Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh: Keadaan vs Cuaca : Dingin vs Tidak hujan

Dingin vs Hujan

Panas vsTidak hujan

Panas vs Hujan

B. Berdasarkan pengaruh/hubungannya

a. Kejadian Independen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.

b. Kejadian Dependen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.

4. PERHITUNGAN NILAI PELUANG

A. HUKUM PENJUMLAHAN

Digunakan apabila kita ingin menghitung probabilitas suatu kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang terjadi dalam suatu percobaan/kejadian tunggal.

Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:

P(A atau B) = P (AÈB) = P(A) + P(B)

Rumus Penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:

1. Dua Kejadian

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB).

2. Tiga Kejadian

P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B) – P(A dan C) – P(Bdan C) + P(A dan B dan C) atau P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AÇB) – P(AÇC) – P(BÇC) + P(AÇBÇC)

B. HUKUM PERKALIAN

Hukum perkalian untuk kejadian Independen: P(A dan B) = P(AÇB) = P(A) x P(B)

Hukum perkalian untuk kejadian dependen: P(A dan B) = P(A) x P(B) atau

P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)

Contoh:

Berdasarkan pengalaman, sebuah produk susu kaleng yang lulus uji dalam hal berat bersih akan diberi nilai 0.95. Lembaga konsumen membuktikan pernyataan tersebut dengan cara mengukur 3 kaleng dengan sebuah alat ukur tertentu. Dengan asumsi bahwa jika kaleng 1 lulus uji, maka kaleng 2 dan 3 belum tentu lulus, maka tentukan:

a. Berapa probabilitas bahwa ketiga kaleng tsb lulus uji?

b. Berapa probabilitas bahwa hanya dua kaleng yang lulus uji?

c. Berapa probabilitas bahwa tidak ada yang lulus uji?

Jawab:

a. P(3 lulus uji) = P(k1 dan k2 dan k3)

= 0.95 x 0.95 x 0.95 = 0.86

b. P(2 lulus uji) = P(K1 dan K2 dan K3’)+P(K1 dan K2’ dan K3)+P(K1 dan K2 dan K3’)

= (0.95 x 0.95 x0.05) + (0.09 x 0.05 x 0.95 + (0.05 x 0.95 x 0.95)

= 0.14

c. P(tidak ada yang lulus uji) = P(K1’ dan K2’ dan K3’)

= 0.05 x 0.05 x 0.05

= 0.000125

C. PERMUTASI DAN KOMBINASI

a. Permutasi

Merupakan setiap susunan yang berbeda dari sehimpunan obyek (n)

nPr = Permutasi dari n obyek yang diambil

= n!/(n-r)! , dimana n = banyaknya obyek

r =obyek yang diambil

Contoh:

6 karyawan sebuah perusahaan yang harus lulus masa percobaan, 3 diantaranya akan ditugaskan di 3 kota. Berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi berdasarkan 3 kota tersebut.

Jawab: Susunan yang berbeda tentang penempatan

nPr = 6!/(6-3)! = 129

b. Kombinasi

Merupakan himpunan/kumpulan obyek dimana urutan tidak diperhatikan.

nCr = n!/r!(n-r)!

Contoh:

6 karyawan yang lulus uji masa percobaan, 3 diantaranya ditempatkan di bagian pemasaran. Berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi?

Jawab: nCr = 6!/3!(6-3)! = 20

Latihan Soal

      1.      Seorang Direktur Bank mengatakan bahwa dari 1000 nasabahnya terdapat 150 orang yang tidak puas dengan pelayanan bank. Pada suatu hari kita bertemu dengan salah seorang nasabah. Berapa probabilitasnya bahwa nasabah tersebut tidak puas ?
             Penyelesaian :
             Dik      : n = 1000
                          x = 150
             Jika A adalah nasabah yang tidak puas, maka :
             P(A) = 150 / 1000 = 0.15 atau 15%
             Jadi probabilitas bahwa kita bertemu dengan nsabah yang tidak puas adalah 15%.

2.      Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3, dan peluang lulus biologi 4/9. Bila peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 berapakah peluangnya lulus dalam kedua mata kuliah?
             Penyelesaian :
             Misalkan A menyatakan kejadian lulus matematika dan B kejadian lulus Biologi maka menurut teorema 1
             P(AΩB) = P(A) + P(B)-P(AUB)
                           = 2/3 + 4/9 – 4/5
                           = 14/45          

3.  Pada penarikan satu kartu dari satu set kartu bridge, peluang akan   terambil kartu as atau berlian.
             Penyelesaian :
             P (as) = 4/52
             P (berlian) = 13/52
             Ada sebuah kartu as dan berlian : P (as ∩ berlian) = 1/52
             P (as U berlian) = P (as) + P (berlian) - P (as ∩ berlian)
             P (as U berlian) = P (as) + P (berlian) - P (as ∩ berlian) = 4/52 + 13/52  – 1/52 = 16/52 k

      4.       Berapakah probabilitas dan pelemparan dua dadu menghasilkan 7 dan 11.
             Penyelesaian :
             Dengan melemparkan dadu menghasilkan 7 berarti kedua dadu itu permukaannya berjumlah 7. Sekarang dadu pertama dapat memperlihatkan 6 perbedaan cara dan sesuai dengan setiap cara yang mana dadu pertama memperlihatkan, yang kedua dapat memperlihatkan dalam 6 cara. Kedua dadu itu dapat memperlihatkan 6 x 6 = 36 cara.
            Jumlah 7 dapat diperlihatkan dalam 6 cara yang berbeda (yaitu 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) . Sehingga Probabilitas untuk memperoleh hasil dengan jumlah 7 adalah
                                                            P1 = 6/36 .
            Jumlah 11 yang mungkin dihasilkan adalah 5 + 6, 6 + 5 adalah dua cara yang berbeda. Jadi probabilitas hasil 11 adalah:
                                                            P2 = 2/36
            Jadi probability untuk menghasilkan 7 dan 11 adalah P =P1+P2 = 6/36 +2/36 = 8/36

      5.      Jika dari suatu undian yang terdiri dan 30 lembar dengan angka 1, 2, 3   diambil 4 lembar~ hitunglah kemungkinan keluarnya angka 1 dan 2.
             Penyelesaian :
             Empat lembar kupon yang ditarik dapat dilakukan dalam 30C4 . Jika dua kupon yang bernomor 1 dan 2 ikut keluar, maka dapat terjadi dalam 28C2 cara. Maka kemungkinan keluarnya nomor I dan nomor 2 adalah  28C2 / 30C4 = 2/145.
             Jadi kemungkinan yang memenuhi adalah 2/145.

Sumber:
Dapat dilihat di
Blog Me
Ismi Islamia F

KONSEP PROBABILITAS (2)

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.

B.       Rumusan Masalah

Dengan konsep probabilitas, maka akan dapat diusahakan untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik dari populasi dengan menggunakan data sampel. Proses penarikan kesimpulan populasi atas dasar data sampel sering disebut dengan “induktif”.

Dengan menggunakan konsep probalilitas, maka dapat diusahakan untuk menjawab peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan. Dengan mengetahui pengertian probabilitas, dasar-dasar probabilias, teori probabilitas, aturan probabilitas, kulkus probabilitas, probabilitas lebih dari satu peristiwa.

C.      Tujuan

Untuk memahami pengertian probabilitas dan bagaimana pemanfaatan fungsi probabilitas sehingga dapat digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Pengertian Probabilitas

Probabilitas atau peluang merupakan “derajat kepastian” untuk terjadinya suatu peristiwa yang diukur dengan angka pecahan antara nol sampai dengan satu, dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak atau random. Dengan konsep probabilitas tersebut, maka akan dapat diusahakan untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik dari populasi dengan menggunakan data sampel. Proses penarikan kesimpulan populasi atas dasar data sampel sering disebut dengan “induktif”.

Dengan menggunakan konsep probalilitas, maka dapat diusahakan untuk menjawab peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan. Misalnya terkait dengan teori permintaan, jika harga suatu barang dinaikkan sebesar Rp. 500,- maka permintaan terhadap barang tersebut dapat turun sebesar 20 unit, atau 25 unit, atau 30 unit dan lainnya. Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka muka yang tampak dapat mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 atau mata 6. Untuk menjawab peristiwa tersebut hanya dapat dilakukan dengan derajat kepastian, yaitu mulai sebesar nol sampai dengan satu (0 <= probabilitas <= 1).

B.       Dasar Probabilitas

Banyak kejadian sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian-kejadian yang akan datang atau sesuatu yang belum terjadi, misalnya :

a.       Apakah nanti malam akan datang hujan ?

b.      Apakah tahun depan harga minyak mentah akan naik ?

c.       Apakah operasi jantung yang akan dilakukan tim dokter besok pagi akan berhasil ?

Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti tetapi dengan melihat fakta-fakta yang ada sebelumnya maka suatu peristiwa atau kejadian dapat diprediksi dengan suatu derajat atau tingkat kepastian tertentu.

            Sebagai contoh yang paling sederhana misalnya cuaca langit mendung dan semakin gelap maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan segera turun, sebaliknya jika cuaca cerah maka tidak akan diprediksikan bahwa akan terjadi hujan. Meskipun dalam kenyataannya bisa saja terjadi suatu kejadian yang sebaliknya, namun tentunya dengan derajat kepastian

C.  Teori Probabilitas

Konklusi dari segala penalaran induktif memiliki sifat probabilitas, sifat peluang yang menyebabkan pikiran dapat percaya akan kebenarannya (rational credibility/rational belief) banyak hal yang kebenarannya tidak diketahui oleh manusia secara pasti, akan tetapi berdasarkan pengalaman manusia tahu bahwa probabilitas itu biasanya benar atau setidak-tidaknya ada kemungkinan benar. Tanpa percaya kepada probabilitas hidup manusia akan mengalami kesulitan yang tidak dapat diatasi.

Dalam kehidupan sehari-hari manusia sering bertindak atas nama probailitas ini berarti waktu melakukan tindakan itu, manusia mempunyai harapan, bahwa apa yang di percayai secara rasional itu akan benar-benar terjadi atau akan benar-benar ada. Jadi peristiwa atau keadaan itu mengandung kredibilitas rasional. Manusia selalu memilih tindakan yang satu atas tindakan yanglain berdasarkan tinggi rendahnya probabilitas, dalam praktek keilmuan orang berusaha mengukur tinggi rendahnya probabilitas itu dengan menggunakan angka-angka. Probabilitas yang berbentuk angka-angka itu dapat disebut probailitas numerik.

Terdapat dua teori tentang probabilitas yaitu; teori klasik dan teori frekuensi :

a.       Teori Klasik

Teori klasik disusun dalam hubungan dengan permainan judi dan juga dikenal dengan nama teori perjudian

Misal :

sebuah percobaan (trial) dapat menghasilkan n peristiwa dan syarat :

1.      Sejumlah pristiwa yang dapat terjadi harus diketahui secara apriori tanpa observasi terlebih dahulu.

2.      Tidak mungkin dua pristiwa terjadi bersama-sama dan ini harus diketahui secara apriori.

3.      Tidak ada alasan untuk mengharap bahwa diantara pristiwa-pristiwa itu salah satu akan lebih mudah terjadi daripada yang lain. ( diantara semua pristiwa itu ada persamaan kemungkinan akan terjadi) diantara semua pristiwa adaekuiposibilitas.

4.      Nilai probabilitas dari masingh-masing pristiwa 1/n

Dalam definisi klasik, nilai probabilitas adalah hasil bagi atau kosien dari jumlah sukses dibagi jumlah peristiwa yang memiliki ekuiposibilitas. Kalu kita melempar dadu, maka prcobaan itu memenuhi syarat (1) dan (2) diatas. Dan kalu cara melmparkanya sedemikian rupa sehingga memnuhi syarat ekuiposibilitas, maka masing-masing muka itu mempunyai nilai probailitas 1/6 untuk menghadap keatas. Kalu dadu itu semua mukanya bermata satu, maka pristiwa lemoparan dengan hasil mata satu memiliki probabilitas 6/6 atau 1. Kalu mukanya tidak ada yang bermata satu, maka pristiwa itu akan mempunyai probabilitas 0/6 atau 0. Angka satu dan 0 itu adalah probabilita maksimum dan minimum. Probabilitas yang ditetapkan secara demikian itu juga disebut matematik. Menurut teori klasik, secara apriori dapat ditentukan bahwa nilai probabilitas untuk memperoleh sukses berupa gambar burung garuda dalam lemparan mata uang lima puluh rupian ialah.   

b.        Teori Frekuensi

Teori ini memandang probailitas sebagai frekuensi relatif, yaitu banyaknya atau seringnya hasil sukses dalam sejumlah percobaan, jadi

Untuk menghitung frekuensi relatif, kita harus mengdakan percobaan sejumlah kali dan hasilnya, misal sebagai berikut ( i = gambar rumah atau sukse)

- - 1 1 - - - 1 1 - 1 1 1

Deretan diatas adalah sequence of events (deretan percobaan) hasil dari 14 kali lemparan diantara yang sukses 8. Berdasarkan 14 kali percobaan itu terdapat

0/1   0/2    1/3    2/4    2/5    2/6    2/7    3/8    4/9    4/10    5/11    6/12    7/13    8/14

Dari teori ini menurunkan sebuat prinsip atau aksioma, yang disebut aksioma limit yang mengatakan bahwa semakin banyak diadakan percobaan dan semakin panjang deretan frekuensinya, maka ngka frekuensinya itu adakan makin mendekati angka akhir. Kalu percobaan itu diteruskan tak terbatas, angka akhir atau nilai lmit inilah probabilitas sebenarnya.

D.      Aturan Probabilitas

Suatu peristiwa E dapat terjadi sebanyak “h” kali diantara sejumlah “n” peristiwa yang mungkin, dengan ketentuan h <= n. Dengan demikian nilai probabilitas dari peristiwa paling kecil adalah 0 (nol) dan paling besar adalah 1 (satu) atau diformulasikan menjadi: 0 <= P (E) <= 1 ; dimana P (E) merupakan probabilitas suatu peristiwa.

Jika P(E) = 0, maka peristiwa E “pasti tidak terjadi”.

Jika P(E) = 1, maka peristiwa E “pasti terjadi”.

Jika P(E) mendekati 0 (nol) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “kecil”.

Jika P(E) mendekati 1 (satu) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “besar”.

Apabila kemingkinan terjadinya peristiwa E diberi notasi P(E), maka kemungkinan terjadinya “bukan E” diberi notasi P(nE), sehingga P(nE) = 1 – P(E). Peritiwa E dan nE merupakan peristiwa yang “komplementer” satu sama lain.

Contoh :

Jika sebuah dadu dilempar satu kali maka peristiwa untuk tampak mata 5 adalah sebesar P(E) = 1/6 = 0,167. Sedangkan untuk tampak selain mata 5 adalah sebesar 5/6 = 0,833 atau 1 – 0,167 = 0,833.

E.      Probabilitas Lebih Dari Satu Peristiwa

Suatu suatu percobaan “tunggal” dimungkinkan akan terjadi beberapa peristiwa, maka peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain dipisahkan dengan tanda “atau” (U). Misalnya dalam percobaan satu kali pelemparan sebuah dadu, maka probabilitas keluar mata 4 atau mata 5 adalah ditulis P (4 U 5). Peristiwa yang terjadi dalam percobaan tunggal tersebut dapat bersifat Mutually Exclusive atau bersifat Non-Mutually Exclusive.

Dalam percobaan yang banyak, maka peristiwa yang muncul akan banyak. Karena percobaan banyak dan peristiwanya juga banyak, maka antara peristiwa yang satu dengan yang lain diberi tanda “dan” (∩). Peristiwa yang banyak dalam percobaan yang banyak dapat bersifat Independent atau bersifat Dependent.

Peristiwa Mutually Exclusive

Peristiwa Mutually Exclusive terjadi jika peristiwa yang satu tidak menyebabkan terjadinya peristiwa yang lainnya atau peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain tidak dapat terjadi secara bersama-sama. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa Mutually Exclusive, maka kemungkinan terjadinya peristiwa X dan Y adalah : P (X U Y) = P (X) + P (Y).

Contoh :

Sebuah dadu dilempar satu kali, maka probabilitas tampak mata 4 atau mata 5 adalah : P (4 U 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6.

Dalam sebuah karung terdapat 4 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola kuning. Jika dalam satu kali pengambilan secara acak, berapa probabilitas terambil bola merah atau bola biru.

Jawab :

Misalnya : X = terambil bola merah dan Y = terambil bola biru.

P (X) = 4/20 = 0,20

P (Y) = 10/20 = 0,50

P (X U Y) = 0,20 + 0,50 = 0,70

Nilai tersebut berarti jika diambil secara berulang-ulang (misalnya 100 kali), maka probabilitas untuk terambil bola merah atau bola biru adalah paling tidak sebanyak 70 kali.

Terdapat 100 lembar undian, yang terdiri 1 lembar hadiah pertama, 4 lembar hadiah kedua dan 10 lembar hadiah ketiga. Apabila diambil satu lembar undian tersebut berapa probabilitas memenangkan hadiah pertama atau ketiga.

Jawab :

X : memdapatkan hadiah pertama

Y : mendapatkan hadiah ketiga, maka

P (X) = 1/100 = 0,001

P (Y) = 10/100 = 0,10

P (X U Y) = 0,001 + 0,10 = 0,101 untuk memenangkan hadiah pertama atau ketiga.[1]

F.       Kulkus Probabilitas

Uraian matematik diperlukan untuk memberikan gambaran tentang kalkulus probabilitas, dengan menjelaskan beberapa hukumnya yang pokok. Yaitu hukum konjungsi dan hukum disjungsi.

1.        Hukum konjungsi

Apabila P sebagai lamabang frekuensi relatif dan p sebagai lambang pristiwa (event) berupa mata uang lima puluh rupiah dengan sukses gambar burung garuda, maka P(p) berarti probabilitas pelemparan mata uang lima puluh rupiah dengan sukses gambar burung garuda. Kalau q lambang sukses yang sama dalam pelemparan mata uang kedua, maka P(q)berarti probabilitas pelemparan mata uang kedua dengan sukses gambar burung garuda. Selanjutnya P(p^q) berarti probabilitas dua mata uang lima puluh rupiah dengan sukse berupa dua gambar burung garuda. Beaya nilai : P(p^q)

Diketahui bahwa probabilitas dalam pelemparan mata uang lima puluh rupiah dengan sukses gambar burung garuda = ½, maka probabilitas sukses yang sama dengan menggunakan dua mata uang lima puluh rupiah ialah ½ x ½ = ¼ nilai probabilitasini dapat dicocokan demikian : bila kita melemparkan dua mata uang lima puluh rupiah bersama-sama, hasil peristiwa itu yang mungkin dicapai ialah sebagai berikut :

(A = gambar Burung Garuda : B = Angka :   A – B

                                                                        B – A

                                                                        B – B  

                                                                        A – A

Hasil lemparan berupa dua burung garuda adalah salah satu empat hasil yang mungkin diperoleh, jadi nilai probabilitasnya ¼.

Contoh lain dua orang pencuri lari masuk kerumah teman mereka, yang penghuninya tiga orang, Polisi tidak mengenal ciri-ciri si pencuri. Beberapa nilai probabilitasnya bahwa polisi berturut-turut akan menangkap orang yang dicarinya ? dalam penangkapan yang pertama probabilitas ketepatanya ialah : 1/5. Dalam penangkapan berikutnya nilai probabilitas ketepatannya ¼, jadi nilai probabilitasnya bahwa polisi berturut-turut akan menangkap orang yang tepat ialah 1/5 x ¼ = 1/20.

2.      Hukum Disjungsi

Disjungsi dibagi menjadi dua yaitu disjungsi ekslusif dan disjungsi inklusif. Disjungsi eksklusif tidak hanya berlaku untuk disjungsi yang anggota-anggotanya komplementer. Bahkan berlaku juga apabila disjungsi memiliki lebih dari dua anggota. Contoh seorang polisi melihat seorang pemuda memukul orang dijalan samapi mati, ketika pemuda itu hendak di tangkap, ia lari masuk halaman kampus dan terus masuk kesebuah ruangan kuliah. Ada 30 orang Mahasiswa disitu, tidak ada yang mengaku orang yang dikejar oleh polisi itu. Polisi merasa melihat bahwa pemuda yang dikejarnya itu berbaju merah, maka ditangkapnyalah seorang mahasiswa yang berbaju merah, akan tetapi tubuhnya kecil, sedangkan ia merasa pemuda yang dicarinya itu berbadan tegap, maka ditangkapnyalah seorang mahasiswa lain yang berbadan tegap akan tetapi berbaju kuning, akan tetapi yang ini rambutnya pendek, sedangkan polisi merasa pemuda yang dicarinya berambut panjang, maka ditangkapnya lagi seorang yang berambut panjang, tetapi berbaju hijau. Berapa nilai probabilitas nya di antara ketiga pemuda yang ditangkap terhadap pemuda yang dicari ? kalau peristiwa penangkapan pemuda berbaju merah, kuning dan hijau kita lambangkan dengan huruf m, k dan h, maka nilai probabilitasnya yang dicari itu adalah sebagai berikut :

P(m v k v h) = 1/30 + 1/29 + 1/28 = 812/24360 + 840/24360 + 870/24360 = 2522/24360.

Contoh yang komplek :

Berapa nilai probabilitasnya kalau kita melempar dua mata uang lima puluh rupiah dan ingin mendapatkan hasil dua gambar burung garuda atau angka lima puluh ? probabilitas ini mengenai disjungsi eksklusif yang masing-masing anggotanya ialah sebuah konjungsi yaitu : probabilitas untuk mendapatkan dua gambar burung garuda dan probabilitas untuk mendapatkan dua angka lima puluh maka perhitunganya menjadi berikut : P[P(r^r) v P(a v a)] = P[( ½ x ½ ) v ( ½ x ½ )] = ¼ + ¼ = ½

Disjungsi inklusif. Dengan melemparkan uang lima puluh rupiah dua kali, berapa nilai probabilitasnya untuk mendapatkan sukses gambar burung garuda pada lemparan pertama atau kedua ? disjungsi ini adalah disjungsi inkusif karena suksesnya dapat dicapai pada lemparan pertama atau kedua atau pada lemparan pertama dan kedua.

BAB III

PENUTUP

A.      Kesimpulan

Probabilitas atau peluang merupakan “derajat kepastian” untuk terjadinya suatu peristiwa. Dengan konsep probabilitas, maka akan dapat diusahakan untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik dari populasi dengan menggunakan data sampel. Proses penarikan kesimpulan populasi atas dasar data sampel sering disebut dengan “induktif”.

Dengan menggunakan konsep probalilitas, maka dapat diusahakan untuk menjawab peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan sehingga dapat sedikit diketahui pertiwa yang akan datang walau belum tentu pasti terjadi.

DAFTAR PUSTAKA

1. http://ssantoso.blogspot.com/2009/03/materi-ii-teori-probabilitas-1.html
2. Dapat dilihat di mantiq-probabilitas

KONSEP PROBABILITAS (1)

A.  Mutually Exclusive

Mutual artinya sebuah hubungan yang saling berinteraksi (dua arah), dan sama levelnya. exclusive bermakna terbatas, hanya untuk kelompok tertentu, tidak menerima input dari luar, atau memberi output keluar. Mutually exclusive berarti saling exclusive, saling tidak berinteraksi, saling tidak mempengaruhi.

Rumus: P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh 1:

Kejadian Saling Meniadakan (Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh           : Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus

Keadaan        : Dingin vs Panas

Cuaca            : Hujan vs Tidak Hujan

B.  Non Mutually Exclusive (dapat terjadi bersama)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama)

Contoh penarikan kartu as dan berlian :

P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩B)

Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh1: Keadaan vs Cuaca  :     Dingin vs Tidak hujan

                                                            Dingin vs Hujan

                                                            Panas vsTidak hujan

                                                            Panas vs Hujan

C.  Peristiwa Tak Bebas ( Bersyarat)

Peristiwa tidak bebas > peristiwa bersyarat (Conditional Probability).

Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.

Contoh:

Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A) -> probabilitas B pada kondisi A

P(A ∩B) = P (A) x P (B│A)

Contoh soal:

Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I)

= 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

D.   Peristiwa Bebas

Apakah kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain.

Contoh:

Sebuah coin dilambungkan 2 kali maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan pada lemparan kedua saling bebas.

P(A ∩B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Peristiwa Bebas (Hk Perkalian)

Contoh 1:

Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:

P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh2:

Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6

P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

E.  Permutasi

Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh:

Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.

Susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut permutasi yang biasanya ditulis dengan lambang huruf P.

1. Permutasi pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya di mana n adalah

 

banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh:

 jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.

2. Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial. Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris.

Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi :

karena 0! = 1! = 1

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

H.       Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh:

 Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

1.   Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

2.   Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu

menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

Sumber:

Dapat dilihat disini